Sembra quasi magia e invece è matematica

Sarebbe forse meglio dire algebra... ma matematica va bene lo stesso. Ieri vedevo pubblicata su Facebook l'immagine che riporto anche qui a lato e che mostra un arabo - nell'immaginario collettivo, queste popolazioni sono molto brave con i numeri - che spiega come fare facilmente la moltiplicazione di due numeri grandi, specie quando sono vicini al 100.

Guardate l'immagine. Prendete la differenza tra 100 e i due fattori che dovete moltiplicare. Fate la somma delle differenze e sottraetela a 100. Questi saranno i primi due numeri del risultato, ai quali dovete accodare il prodotto delle differenze.

Come spesso accade, questi trucchi hanno un sapore di magia e viene spontaneo domandarsi se si tratta di un caso particolare che funziona solo con una particolare coppia di numeri (97 e 96 nel caso della vignetta) oppure è qualcosa di valido in generale. Per risolvere il dilemma della generalità, dobbiamo togliere i numeri dal gioco e sostituirli con delle lettere e qui entra in gioco l'algebra.


Prendiamo due numeri qualsiasi x e y e il nostro scopo è calcolarne il prodotto, ovvero xy (in algebra spesso si sottointende il simbolo di prodotto tra due fattori). Il procedimento illustrato nell'immagine può essere espresso in questo modo. Per calcolare le due cifre rosse devo prendere i due fattori e sottrarli a 100 e quindi sottrarre a 100 la loro somma. Da cui in formula:


Per i due numeri in blu, dobbiamo fare il prodotto delle differenze, che ancora una volta in formula diventa:


Per mettere insieme tutte le cifre dobbiamo moltiplicare per 100 il risultato della prima coppia di numeri, il che equivale a spostarle a sinistra di due posizioni e poi sommare il risultato della seconda formula. Il metodo di calcolo può essere quindi generalizzato dalla seguente formula.


Perfetto, adesso dovete solo ricordarvi di aver finito la seconda media e di provare a calcolare l'espressione qui sopra e, se ne avrete voglia, scoprirete che il risultato è proprio xy e che quindi il sistema è valido qualunque sia la coppia di numeri in questione.

Si ma... 

Abbiamo dimostrato che il processo è valido in generale, se vale per due numeri che si chiamano x e y deve valere per tutti... però... è ovviamente una scorciatoia per i conti da fare a mente solo quando x e y sono molto vicini a 100, infatti se devo calcolare 5 per 4, mi conviene eseguire la moltiplicazione direttamente anziché usare la scorciatoia che sarebbe solo inutile. Ma c'è di più, il metodo sembra fallire miseramente quando il risultato della prima espressione è negativo.

Vediamo meglio con un esempio, prendiamo proprio i numeri 5 e 4: le differenze a 100 sono ovviamente 95 e 96 che sommati tra loro danno 191, da cui il risultato della prima equazione -91. Ricordiamo che il risultato della prima espressione era la coppia di numeri rossi e questo fa a botte con quel segno meno che non sappiamo proprio spiegarci.

La soluzione è che questo -91 deve essere moltiplicato per 100 (-9100) e poi deve essere sommato alle cifre blu, che sono il prodotto di 95 e 96 (9120) come ben descritto dall'espressione 3 per ottenere il risultato finale, che guarda caso, è proprio 20.