Gemelli più vecchi

Eccoci giunti all'ultima parte di questa serie di articoli, dove discutiamo del paradosso dei gemelli.

Per definire il problema chiaramente, eviteremo il più possibile di parlare di "gemelli" e "astronavi" e parleremo piuttosto di orologi e sincronizzazione, richiamandoci ai "gemelli" solo quando necessario per fare il parallelo con la formulazione classica. Chiamiamo quindi K il sistema di riferimento inerziale dell'osservatore G (quello a riposo, "che rimane sulla terra") e K' quello dell'osservatore G' in moto con velocità v. G e G' possono sincronizzare i loro orologi nell'istante iniziale .

Data l'indistinguibilità dei sistemi di riferimento inerziali, l'effetto di dilatazione temporale è simmetrico nei due sistemi. Per il sistema G', è il sistema G che si muove con velocità -v e pertanto è il tempo proprio di G che sperimenta un effetto di dilatazione temporale per lo stesso fattore .


In generale, però, c'è accordo sul fatto che questo effetto non può realmente essere simmetrico, nel senso che nel momento in cui si confronti il tempo trascorso per G e quello trascorso per G', per G' deve effettivamente essere trascorso meno tempo (nel linguaggio comune, "deve essere più giovane"). Questa asimmetria viene giustificata normalmente notando che il sistema in moto G' deve necessariamente invertire la rotta per poter confrontare le due misure e questo implica delle accelerazioni che richiedono l'utilizzo della relatività generale.

Questo non è strettamente vero, mentre è vero invece che il principio di invarianza galileiano vale solo fra sistemi inerziali e quindi non c'è alcun motivo per cui l'effetto di dilatazione temporale debba essere simmetrico anche per sistemi in moto relativo non inerziale. Spesso la relatività generale viene invocata ogni volta che intervengono delle accelerazioni, mentre questo non è necessario a priori. In realtà la relatività ristretta sa trattare benissimo le accelerazioni, quello che la relatività generale introduce è il principio di equivalenza, ovvero l'assunzione che il campo gravitazionale possa essere localmente trattato come un sistema non inerziale. A causa delle masse gravitazionali, lo spaziotempo diventa curvo e solo in questo caso si è obbligati ad usare la relatività generale, che permette appunto di calcolare come si modifica la struttura geometrica dello spaziotempo a causa delle masse gravitazionali. Ogni volta che si ha a che fare con uno spazio tempo di Minkowski (ovvero piatto perché senza effetti gravitazionali), è sufficiente la relatività ristretta, che si parli di sistemi inerziali o no.

Parlare di accelerazioni e di relatività generale è quindi in realtà un modo un po' ingenuo di vedere questo paradosso. Il punto interessante è invece che esso può essere espresso anche utilizzando solo sistemi inerziali, dimostrando così che l'accelerazione non gioca necessariamente un ruolo nella risoluzione di questo paradosso. Questo è un punto interessante raramente messo in evidenza.

Fomulazione inerziale 1 : universo cilindrico

Una prima formulazione che prevede solo sistemi inerziali può essere chiamata dell'universo cilindrico. In questo caso si suppone semplicemente che in questo universo le rette siano linee chiuse. In maniera formalmente precisa, si suppone che lo spazio sia minkowskiano con condizioni al contorno spaziali periodiche, in modo che detto L il periodo si possa fare l'identificazione x+L=x e similmente per le altre dimensioni spaziali. La coordinata temporale rimane invece non limitata per evitare curve causali chiuse. In questo modo si ottiene un universo la cui parte spaziale è uno spazio compatto ovvero, detto in termini più semplici, chiuso e limitato. Supponiamo anche assenza di materia, in modo da non essere costretti ad utilizzare la relatività generale.

In questo universo, sia K un sistema in quiete e K' un sistema in moto relativo inerziale. All'istante i due sistemi sincronizzano gli orologi che segnano così lo stesso tempo. K' è però in moto e registra quindi una dilatazione temporale rispetto al sistema K. Lo stesso accade per K, che misura una dilatazione temporale rispetto al sistema K' in moto relativo rispetto a lui, in quanto l'effetto in questo caso è realmente simmetrico. A causa della topologia cilindrica dello spazio, esiste però un istante nel quale i due sistemi K e K' si incrociano di nuovo pur avendo viaggiato sempre di moto inerziale. Cosa misureranno i due osservatori G e G'?

La risoluzione del paradosso è in questo caso tecnicamente abbastanza complessa, ma il punto essenziale è che in uno spazio compatto esiste effettivamente un sistema di riferimento privilegiato, ed è l'unico riferimento che può essere in quiete in questo spazio tempo: si tratta proprio del sistema in cui si definiscono le condizioni al contorno periodiche. In altri termini, per poter impostare le condizioni al contorno periodiche nel sottospazio spaziale (o qualunque altra condizione di compattezza) occorre stabilire necessariamente, anche se implicitamente, un sistema di riferimento che è in definitiva il sistema K del "gemello più vecchio".

Inoltre, a differenza di G, G' che si trova nel sistema in moto K' non può definire uno spazio di quiete globale, ovvero non può sincronizzare gli orologi nello spazio intorno a sé stesso. Questo è importante per poter definire un tempo associato all'osservatore in tutto lo spazio tempo e definire così una nozione di tempo anche lontano dall'osservatore.

Se fosse possibile effettuare la sincronizzazione degli orologi in K', ogni gemello potrebbe utilizzare il proprio tempo globale per stimare l'età dell'altro e si cadrebbe in contraddizione. Ma questo è impossibile in uno spazio compatto, come vedremo subito.

Questa procedura di sincronizzazione su tutto lo spaziotempo (procedura di sincronizzazione di Einstein) prevede che l'osservatore G' posizioni degli osservatori nei vari punti dello spazio K' e che sincronizzi i vari orologi scambiando segnali luminosi. Ma nel caso di un universo compatto, l'osservatore G' ad un certo punto comincerà a ricevere i propri stessi segnali per resettare il proprio orologio di una quantità proporzionale a . In parole povere, G' è fuori sincrono con il proprio stesso tentativo di sincronizzazione. Ogni misura fatta in questo riferimento è quindi ambigua di una quantità pari a questo spostamento temporale e se ne deduce che non è possibile per G' definire una coordinata temporale globale che rispetti la procedura di sincronizzazione einsteniana. Per eventi lontani dalla sua linea di universo non è possibile associare loro una coordinata temporale sincronizzata con il tempo proprio di G', quindi non è possibile dire quanto tempo è passato e l'invarianza di Lorentz non è conservata.

In ultima analisi, i due sistemi di riferimento non sono simmetrici e pertanto l'effetto di dilatazione temporale non lo è: e siccome il tempo proprio di un osservatore in moto è sempre minore di un osservatore in quiete, all'istante G è effettivamente più vecchio di G'.

Formulazione inerziale 2 : tre sistemi di riferimento

Una seconda formulazione del paradosso che non richiede accelerazioni prevede tre sistemi inerziali e lo spaziotempo piatto di Minkowski.

Supponiamo ancora che all'instante , nel punto O, un osservatore G nel sistema K (quello supposto in quiete) e uno in G' nel sistema K', sincronizzino gli orologi e poi si allontanino di moto inerziale, ciascun osservatore vedrà quindi il proprio orologio rallentare rispetto all'altro. In un istante successivo , nel punto A il sistema K' incrocia un altro sistema inerziale K", in questo istante un osservatore G" su K" sincronizza il proprio orologio con quello di G'. Il sistema K" continua poi il suo moto fino ad incrociare il sistema K in E, dove confronta il suo orologio con quello di G che è rimasto nel sistema in quiete K. Ancora una volta, cosa misureranno i due osservatori G e G"?

La soluzione del paradosso si basa anche in questo caso sul fatto che i sistemi non sono equivalenti. Il punto essenziale in questo caso è che la retta non può mai trasformarsi nella spezzata con una sola trasformazione di Lorentz, perché nello spazio di Minkowski le leggi di Lorentz trasformano sempre rette in rette. In altre parole, l'effetto di dilatazione temporale è simmetrico solo fra due sistemi inerziali, mentre la linea spezzata si ottiene applicando le trasformazioni di Lorentz in due punti diversi dello spaziotempo e questa composizione non è a sua volta una trasformazione di Lorentz. Quindi i due sistemi non sono simmetrici e la dilatazione dei tempi a sua volta non è simmetrica. Ancora una volta, siccome il tempo proprio di un osservatore in moto è sempre minore di un osservatore in quiete, nel punto E G è effettivamente più vecchio di G''.

Con questo articolo chiudiamo questa serie su paradossi della relatività ristretta, sperando di essere stati di aiuto nella comprensione di questa affascinante teoria che a volte sembra scontrarsi con il senso comune.